こんにちは、みなさん！今日は、数学の中でも特に便利な「平方数」と「平方根」についてお話しします。これを知っていると、日常生活や中学校の勉強で役立つことがたくさんありますよ！
平方数・平方根って何に使うの？
平方数や平方根は、「計算のための知識」ではありません。実際に、長さ・距離・大きさを求めるための道具として使われます。
でも、ちょっと難しそうな雰囲気が漂うのでしょうか。中学生が「何のために習うの？」と感じやすい単元です。
実は、平方根や平方数は、身近な場面や数学の文章題で登場しています。
つぎに「どんな場面で役立つのか」具体的に見ていきましょう。そうすれば、中学生が平方数・平方根を学ぶ意味がだんだんとわかってくるのではないでしょうか。
日常生活での便利な使い方
まず平方根は、面積から長さを求めたいときに役立ちます。
面積だけが分かっている部屋の縦横の長さは？
ある正方形の面積がわかっている場合、この正方形の1辺の長さは平方根で求められる
面積が 9㎡の正方形 → この正方形の 1辺は、√9（＝3m）
下のスライドの①の場合を見てください。カーペットの縦横の長さを計算で求めましょう。
この考え方は、いろいろな場面で使われています。たとえば、部屋のサイズを考えたり、マットや家具の大きさを検討したりする場面でも使えます。
②の場合は、ちょっと工夫して計算します。あとでご案内する無料プリントで練習できます。
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「平方数」と「平方根」の関係
このように、「平方数」と「平方根」の関係は「正方形の面積と辺の関係」です。実際に「正方形」を見れば、さらにわかりやすくなります。
たとえば「ミニタオル」「ランチクロス」「クッション」「折り紙」など、身近には「正方形」のものがあります。これらの正方形の面積と1辺が、平方数と平方根の関係です。
ところで、私の机の中には「折り紙」を置いてあります。図形の学習では「折り紙」を使うと辺や角度なども理解しやすいからです。それに、手を動かすと勉強の気分転換にもなりますよ🤗
数学の問題での便利な使い方
実際、数学の試験では、平方数・平方根は文章題や応用問題でよく使われます。
二次方程式の解法にも使う
「平方数」や「平方根」が二次方程式の解法に使われる例を紹介します。
X²+24X+144＝0
みなさんは「X²+24X+144＝0」という二次方程式のどこに目がとまりますか？
この式では「144」に着目するのが正解への早道です。「144」は「12」の「平方数」だからです。
X²－２√7X+7＝0
つぎに、X²－２√7X+7＝0 という方程式の、どこに着目しますか？
√が入ってる…どうしよう
√が入っていても考え方は同じですよ
「X² – 2aX + a² ＝（X – a ）² ＝ 0」の形に気づきましたか？ここでは、「７」と「√7」に着目すると解きやすくなります。７は、√７の平方数だからです。
このように二次方程式と組み合わせて使う問題や、計算の途中で √7 のような平方根が現れる問題は入試でも頻出です。
試験によく出ると聞くと「イヤだな～」と思うかもしれません。でも、物は考えようです。
ここで、典型的な問題パターンがわかれば、「どういった場面で平方根を使うのか」「なぜここで平方根が出てくるのか」を整理することができます。
もし、平方根に「苦手意識」があるならば、どこかに「気になること」があるはずです。こういったことをひとつひとつ確認すればいいのです。大丈夫です！
そうか！確認だ
👉 平方根が出てくる文章題を、もう少し例で見たい人のための記事を準備中です。
「平方数」「平方根」を最低限おさらい
まず、平方数と平方根の最低限の定義だけを確認しておきましょう。
平方根とは？
同じ数を２回掛けると a になる数を「 a の平方根」といいます。例えば、４の平方根は、√（ルート）記号を用いて±√4と表します。４の場合は、２×２ですから、±√４＝±２です。
※同じ数を２回掛けると a になる数は「a の正の平方根」と「a の負の平方根」の２つの平方根があります。負の数同士を掛けても正の数なるからです。
４＝ ±√4 × ±√4 ＝ ±√2² × ±√2²＝ ±2 × ±２
このような考え方で、「４の平方根」は±２となります。
OK！これが平方根ね
平方数と平方根の関係
そして平方数と平方根の関係も、軽くおさらいしましょう。同じ数を２回掛けて出来る数が平方数です。たいていの場合、掛け算九九で覚えていて反射的に思い浮かぶのではないでしょうか。
例えば、「16の平方根は ±4」です。その理由は「16という数字は±4を2回掛けた数だから」です。
次の表を見てください。覚えたら便利「よく使う平方数と平方根」です。これは、「平方根が整数になる平方数」の表です。試験では、本当によく見かける数ばかりです。
※ 表は、掛け算九九にあわせて「正の平方根」で説明しています。
※「負の平方根」同士を掛けても同じ平方数です。注意してください。
また掛け算九九では覚えない大きい数で、平方数「100、121、144、169、196、225」も試験問題ではよくみかけます。これも覚えておくととても便利です。
平方根の近似値はなぜ必要？
実は、平方根は必ずしもきれいな整数になるとは限りません。そのため、実際の問題では近似値で考える場面が多くあります。
つぎに「なぜ正確な値でなくてもよいのか」「近い数とは、どのくらいの精度で考えればよいのか」を説明します。
平方根の近似値
上の表を見ると「平方数」欄に載っていない数があります。たとえば、平方数「２」や「３」の平方根は書いてありません。このような数の平方根の代わりに「近似値」が使われることがあります。
では、計算機があったら「√４」と入力してください。これは、「２」と表示されますね。
つぎに、「√２」と入力してください。「1.414213562373…」と計算機の桁数いっぱいに表示され、キリがありません。これは無理数です。
これが、上の表の「平方数」欄に載っている数とそうでない数の違いです。
つまり、「平方数」欄にない数の「平方根」は無理数なので、「√記号」をつけて表すしかありません。数字だけでは、正確な値を示せないのです。
せめて「近い数」を知りたい！
では、「近い数」はどんな数か、どのくらいの精度で考えればよいか探求しましょう。
たとえば、√2がどんな数なのかを知るために、いくつかの数を大きさ順に並べてみます。並び方のルールは、√記号の中にある数の大きさ順です。
√1（＝1）＜ √2 < √3 < √4（＝2）
つまり√2は、そして√3も「1～2」の間にあることがわかります。
まだ、わかりにくい気がしますね。
試験の問題では「√2は、1.41 、√3は、1.73で計算しなさい」といった指定がついていたりします。この「1.41」を√2の近似値といいます。これであれば、より近い数で計算することができます。
つまり√を含む計算では、√の数の近似値を用いることで「近さの精度」を示したうえで数値を求めることができます。
これが近似値の役割か～
👉 入試では、平方根の近似値を用いて値を求めるタイプの問題があります。最後に、小数点のある数の計算をします。ケアレスミスがないように見直しをしましょう。
【早見表】平方根の近似値
実際の計算や数の大きさを判断する際の助けになる平方根の近似値の早見表を紹介します。
たとえば、√2の近似値は 1.41です。数学の問題でよく見かける√2 ≒ 1.41、√3 ≒ 1.73、 √5 ≒ 2.24などは、覚えておくと便利な数です。
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平方数・平方根は、「見てわかったタイミングで手を動かす」と定着する単元です。
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気楽にやってみようね
今回は、平方数と平方根がどれだけ便利かを紹介しました。これを覚えると、日常生活や数学の勉強でとても役立ちます。楽しく練習してくださいね！
勉強は要領よく！課外活動は楽しく！を応援しています。
では、また💛
