【楽しく学ぶ数学の文章題】第3回：正方形と折り紙でスッキリ！苦手克服！平方根の超入門

こんにちは！今回は、「平方根」を簡単に説明します。「平方根」がほんとうに苦手な人、√記号が嫌いな人のための限定回です。ぜひ、見てね！

はじめに：身近なところにある「平方根」

さて、生活では、ある広さから、縦・横の長さを割り出すことがあります。例えば、「この部屋の広さは〇〇平方メートル、形は正方形」という情報を聞いたとします。ここから、「この部屋の縦・横って、何メートルだろうか」と考える場合です。

この時に、平方根の考え方が出てきます。

つまり、ここには「正方形の一辺の長さは、その面積の平方根」という関係があります。このことは、計算できるので、つぎの章でやってみましょう。

まずは、「折り紙」とか「ハンカチタオル」などの身近な正方形を思い浮かべて、先に進みましょう。

もっとわかりやすく、平方根：正方形の計算をしよう

それでは、一辺の長さが10ｃｍの正方形の面積を計算しましょう。

計算式：10×10＝10²（ｃｍ²）

答えは、10²（ｃｍ²）です。ここでは、10²と単位のｃｍ²にも注目してください。正方形では、同じ数を2回掛け算（２乗）していることがわかります。

今度は、面積が9ｃｍ²の正方形の一辺の長さはわかりますか？

計算式：9＝3×3

答えは、一辺が3ｃｍです。これは、掛け算九九を知っているのでパッとわかりましたね。この一辺の単位は「ｃｍ」です。

それでは、面積が5ｃｍ²の正方形の、「一辺の長さ」はどうなりますか？

計算式：5＝？×？

残念！掛け算九九では、思いつきません。このように、正方形には、一辺が整数ではない正方形もあります。むしろ、こちらの方が圧倒的に多いのです。

そこで、「平方根」の登場です。

例えば、面積が5ｃｍ²の正方形の一辺は、√記号を使って計算すれば、解決できます。

計算：5＝√5×√5

√5の読み方は、「ルート5」です。これを「5の平方根」ともいいます。

※　ところで、「5の平方根」は２つあり、「+√5」と「-√5」です。なぜなら、負の数×負の数も正の数になるからです。しかし、正方形には、負の数がありません。そのため、ここでの説明から負の平方根を除いているので、注意してください。

※+√は、通常、√と表します。

平方根は「簡単に」

それでは、ここまでの知識をまとめましょう。

折り紙で体験！一緒に平方根を見つけよう！

さて、これで平方根の知識がまとまったので、実際に折り紙をイメージしながら体験しましょう。

図形で平方根！：折り紙の一辺

これで、折り紙の面積から一辺の長さと、平方根の計算方法がわかりました。

三平方の定理にも平方根！：折り紙を半分に折る

つぎに、この折り紙を対角線で折りましょう。これもイメージが大切ですよ。きれいな直角二等辺三角形ができますよね。

解説

さて、正方形を三角になるように半分に折ると、折り目は元の正方形の対角線になります。正方形の一辺の長さを a とすると、対角線の長さ Lは、三平方の定理より以下の関係になります。

L ²= a² + a²＝2a²　

では、Lを求めます。２乗の数からの元の数を求める計算は、あの「正方形の面積からの一辺の長さ」と同じです。ただし、この問題では、√の中身が、2a²の点が、正方形の場合とは異なります。

この場合は、a²の、aだけが√記号の外に出る形にまとめます。

よって、L＝√2a

　

この正方形の一辺の長さ（a）は 7cm なので、新しくできた折り目の長さ（対角線の長さ）は、L= 7√2 （cm）です。

平方根入門：練習問題にチャレンジ！

それでは、平方根の問題を練習しましょう。 単位まで答えてね！

答えは、こちら

平方根の仲間たち ： 覚えたら、便利「およその数」「近似値」

さて、ここで平方根の仲間を紹介します。

平方根の近似値

まず、「平方根の近似値」です。例えば、√5のような数は分数にできない数で「無理数」とよばれます。ちなみに、有名な「無理数」には、円周率「π（3.14159…）」があり、およそ「3.14」がよく用いられます。つまり、無限に数字が続いてしまう数です。そこで平方根も、最後におよその数で計算することがあります。

例えば、√2や√３には「近似値」という仲間がいます。この仲間の覚え方には、語呂合わせもあるんですよ。近似値は、問題の仕上げに使うことがあります。計算の途中では使いません。

　　　　√２の近似値：およそ1.414 (一夜一夜に人見頃：ひとよひとよにひとみごろ)
　　　　√3の近似値：およそ1.732（人並みにおごれや：ひとなみにおごれや)
　　　　√5の近似値：およそ2.236 (富士山麓オウム鳴く：ふじさんろくおうむなく) 　

この近似値を使えば、「およそ」の数の大きさがわかるので便利です。ところで、これを使う場合、試験では「√２は1.41として計算しなさい」などと指定されます。ですから、「いったい、どこまで覚えればいいの？」という心配はいりません。

平方根の大小って？

また、√3と√5では、どちらの平方根が大きいでしょうか。これは、近似値を知らなくても直感的にわかります。平方根のイメージは、「正方形の面積からの一辺の長さ」ですから、 面積の大きい正方形ほど一辺の長さも長くなります。もちろん、√5＞√3です。

日常生活での応用例

この他にも、写真の拡大縮小、建築設計などで平方根の考え方が使われています。ですから、「苦手だと思う以前に使っている、あるいは、その恩恵を受けている」のが現状です。

おわりに：平方根は簡単！ぜんぜん難しくない！

最後になりますが、平方根のイメージは、「正方形の面積からの一辺の長さ」です。苦手に思えた√記号も、平方根の計算が便利になる道具のひとつです。

また、身近な正方形の例の、「折り紙」では、正方形と平方根の関係がもっと具体的なイメージになります。もし、平方根の問題で困ったら、「折り紙」を折ってみましょう。

そして、一番大切なことは、このイメージをもって「平方根」の問題を解くことです。まず、計算練習、そして文章題へと進めましょう。以前とは比べ物にならないほど「平方根」への理解が深まります。

 では、また💛

解説動画があるから、こちらがおススメ