【楽しく学ぶ数学の文章題】第12回：【中3】二次関数の変化の割合って？裏技も紹介！入試で差がつく考え方をマスターしよう

「変化の割合がマイナスのとき、どうなるの？」「a の値が違うと何が変わるの？」…

今回は、「変化の割合」がわかってきたからこそ、こんな疑問がある人にピッタリな記事です。
さらに例題では、公立高校入試によく出る「二次関数の変化の割合」について、まず「基礎〜標準」レベルを一緒に確認しながら、よくあるミスや裏技ポイントも紹介していきます！

「変化の割合」ってなんだっけ？（復習）

さて、一次関数（ y= ax ）でやった「変化の割合」は、傾き（ a ）のことでしたね。つまり、一次関数のグラフは直線で「変化の割合」は常に一定です。

でも、二次関数のグラフは放物線ですから、「変化の割合」（傾き）はどの区間を見るかで違いました。※

※クリックして第10回も見てね🎵

二次関数の「変化の割合」基本の公式

では、二次関数の「変化の割合」の公式はどこかが違うのでしょうか？二次関数の「変化の割合」の公式を見て確かめましょう。

変化の割合= y の増加量 ÷ x の増加量

実は、一次関数の「変化の割合」の公式と同じ形です。

押さえておこう！二次関数の「変化の割合」

とはいえ、二次関数には一次関数とは違う特徴があります。そこで、例題に取りかかる前にその特徴をあげておきます。

そして例題を解くことで、二次関数の「変化の割合」の特徴をみていきましょう。

【レベル1】超基本：まずは式がシンプルなものから

例題１

関数 y = x² において、x が 1 から 3 に変化するときの変化の割合を求めよう。

解き方のコツ（まずは基本技！）

① x = 1 のときの y = 1² = 1
② x = 3 のときの y = 3² = 9
③ 変化の割合の公式に代入：（9−1）÷ (3−1)= 8 ÷ 2 = 4　答え：4

【レベル2】ちょっと複雑そうな式も、やることは同じ！

例題２

関数 y = x² – 4x において、x が 2 から 5 に変化するときの変化の割合を求めよう。

① x = 2のときの y = 2² – 4×2 = 4 – 8 = -4
② x = 5のときの y = 5² – 4×5 = 25 – 20 ＝ 5
③ 変化の割合の公式に代入：{5−(−4)} ÷ (5−2)= 9 ÷ 3 ＝3　答え：3

「 a の値」の違いとグラフの変化

ところで、「 a の値の違いで何が変わるの？」って気になる人もいますよね？これは、グラフを見ればバッチリわかります。

つまり、関数 y = ax² のグラフは左右対称形で、「 a の値」の違いで放物線の「開く方向」と「幅」が違うのですね。

「 a の値」と高校入試

実は、この「 a の値」も高校入試の応用問題として取り上げられています。

でも、焦らないでね！

今がんばって「変化の割合」や「グラフの読み取り」を練習中の人は、まず前回の内容をマスターしてください。そして「二次関数の『 a の値』もがんばるぞ～」という人に、つぎのポイントをご紹介します。

よくあるミスと裏技アドバイス

知ってふせごう「よくあるミス」

まず、こんなミスが起きやすいので練習のときから注意してね。

• 計算中の符号ミス→ 符号や数字をていねいに書いてね！
• マイナスの計算処理→かっこで囲んでおこうね！
• a、 b などの計算の順番→あわてないでね！

二次関数グラフと「変化の割合」（プチ裏技）

さて、二次関数のグラフは左右対称でしたよね。ということは、つまり「変化の割合」の「大きさ」や「符号」を見れば、放物線の形が大まかにわかるということを意味します。

例えば、こんなことがわかります。

練習問題にチャレンジ！

それでは、問題練習をしましょう
✏️ レベル1
① y = x²、x が 2 から 5 のときの変化の割合
② y=x²−1、 x が 1 から 4 のときの変化の割合

✏️ レベル2
③ y = x² + 2x、x が -1 から 3 のときの変化の割合
④ y = 2x² – 3x、x が 0 から 2 のときの変化の割合 　　　　　こちらをクリックして答え合わせ

まとめと次のステップ

最後に、二次関数の「変化の割合」と「 a の値」を総まとめしましょう。そして「わかってきたな～」と思ったらどんどん問題を見つけて練習することが大切です。そのときが実力アップ🆙のタイミングですから。　では、また💛

中３数学 パターンドリル (シグマベスト)

もっと練習したい人へ：おまけ

練習プリントで「変化の割合を」レベル別に練習できます。基礎～標準問題に自信がついたら、a の値を求める問題にもチャレンジしてみてね。